13. 矩阵乘法加速与量子程序模拟¶

13.1. Systolic Array¶

考虑到量子计算模拟器中存在大量的矩阵运算需求，我们引入了协处理器Systolic Array用来加速矩阵运算。

13.1.1. 实现原理¶

在协处理器的设计上，我们使用Systolic Array（脉动执行）结构，执行快速的矩阵乘法运算。

上图中的方格部分为核心运算单元，由乘法器和累加器构成。待运算矩阵的源数据以流水线方式按节拍流入核心运算阵列中，以流水方式进行乘加，最终可以$O(n)$的时间效率得到$n*n$矩阵乘法的结果；而朴素的直接运算其时间复杂度为$O(n^3)$。结合片内资源限制，我们最终实现了$4*4$的矩阵乘法协处理器，利用Xilinx提供的Floating Point IP核，实现了32位浮点数矩阵的快速乘法。

13.1.2. Memory mapping¶

为了在不增加新指令的基础上利用协处理器，我们将协处理器及其控制单元映射到了给定的内存地址中，通过内存访问方式统一进行处理。考虑到我们实现的是64位CPU，我们将源矩阵交叉映射到内存中，即两个输入矩阵对应位置各32位拼接为一个整字。同时，我们通过专用的编译器以利用该协处理器，进行矩阵乘法的加速。

和其它部件一样，协处理器采用了AXI4 Lite协议与处理器进行交互。

13.1.3. 效率分析与测试¶

协处理器的核心逻辑部分允许单周期的流水运算，总共能够在约490ns内完成一次4*4的矩阵乘法。作为对比，在不引入协处理器的情况下，朴素的64条浮点乘法指令和48条浮点加法指令仅发射即需占用112周期，即1120ns，其实际完成矩阵乘法操作（包括累加运算及运算）远高于本协处理器的运行时间。因此，本协处理器的加速是有效的。

我们生成了若干组随机的benchmark进行矩阵浮点运算正确性测试。经实际上机测试，本协处理器可在100MHz下正常运行，其运算结果正确。

13.1.4. 可能的进一步优化¶

当前，协处理器使用了Block RAM与处理器进行交互；考虑到490ns较短不值得使用中断（同时当前处理器不支持中断），处理器不得不轮询状态寄存器以获知计算完成。同时，当连续进行大量矩阵乘法运算（例如进行分块矩阵乘法的运算）时，大量的处理器时间被浪费在从Block RAM和处理器之间来回复制数据上。

一种进一步优化的思路是允许协处理器访问总线，以DMA方式直接从内存载入待处理数据，不再浪费处理器的时间；同时，从内存载入待处理数据的方式可以针对分块矩阵进行优化，例如，借助硬件自动完成矩阵的分块与分块相乘。

13.2. Quantum Compiler¶

https://github.com/qurisc-dev/qusim-compiler/tree/master/qcomp

13.2.1. 实现功能¶

在源语言的选择上，为方便实现，我们引入了qasm2circ中的简单量子门指令集为参考；在此基础上，允许X, Y, Z, Toffoli, CNOT等基本门操作的模拟和Rx, Ry, Rz等带参数单比特旋转门。这些门构成了Universal gate set，即原则上本语言支持任意量子操作的实现。在此基础上，我们允许程序员自定义任何两比特以下的门以方便运算。

13.2.2. 实现方法¶

考虑到实现的方便性，我们选择先将源语言编译到简单的C语言，再利用riscv-gcc toolchain编译成二进制文件烧入内存。其中，利用分块矩阵乘法的算法，以分块矩阵为单位进行矩阵运算，有效利用了我们的协处理器进行加速。

在量子态的表示方面，我们暂时选择了较易实现的vector representation代替density operator。对于较长的向量，仍然可以通过分块的方法压缩成矩阵，利用协处理器进行高效运算。

13.2.3. 实际测试¶

在原本的设计上，我们还实现了测量操作和经典比特的引入，并利用模拟器测试了编译器的正确性。但是，由于时间所限，我们的处理器暂时不支持普通的浮点运算操作，仅允许通过协处理器进行浮点操作。

为展示最终效果，我们对编译器进行了修改，限制了原编译器的部分功能，抹除了所有额外的浮点运算；由于universal的量子运算模拟需要在复数域上进行，为避免浮点加法运算，我们被迫将本模拟器的运算限制在实数域。因此，支持的门减少到X, Z, Toffoli, CNOT和Ry，模拟器的功能也被弱化；但仍可进行相当复杂度的量子运算。

13.3. Testbench¶

https://github.com/qurisc-dev/qusim-compiler/tree/master/testbench

13.3.1. 简单的协处理器Testbench¶

为了测试协处理器本身，我们编写了一组工具，用于随机生成矩阵乘法测试样例，从而测试协处理器的正确性。

13.3.2. 量子程序测试样例¶

我们选取了一个简单的量子电路作为测试样例，该电路源代码如下。

gatedef testgate
ry 0,-1.5707963267949
ry 1,-1.5707963267949
cnot 0,1
endgatedef
gatedef swap
cnot 0,1
cnot 1,0
cnot 0,1
endgatedef
qubit 0
qubit 1
qubit 2
cnot 0,1
testgate 0,2
swap 1,2

电路在IBM Q Experience上的图例和运行结果如下。

我们的运行结果与其一致。